Calcolo Esempi

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x^{2} + y^{2}$ per $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 9

$y$ e $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

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Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.4.1

Scomponi $y$ da $y^{3} - x^{2} y$ .

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Passaggio 10.4.1.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.4.1.2

Scomponi $y$ da $- x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.4.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ .

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$