Calcolo Esempi

$\frac{x - 5}{x^{2} - 3 x + 15}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 5$ e $g (x) = x^{2} - 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x^{2} - 3 x + 15$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Somma $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x - - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x + 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(- x + 5) (2 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.6

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Somma $3 x$ e $10 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $15$ da $15$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x + 0}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $- 3 x$ e $13 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x$ da $- x^{2} + 10 x$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x$ da $10 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 10}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $x$ da $x (- x) + x \cdot 10$ .

$\frac{x (- x + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $10$ come $- 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $- (x - 10)$ come $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x - 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$