Calcolo Esempi

$3 \ln (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (\frac{1}{x})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{x}$ .

$3 (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$3 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 x (- x^{- 2})$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 x \cdot x^{- 2}$

Passaggio 7

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$- 3 (x^{- 2} x)$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (x^{- 2} x^{1})$

Passaggio 7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 x^{- 2 + 1}$

Passaggio 7.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 3 x^{- 1}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x}$

Passaggio 8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x}$

Passaggio 8.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x}$