Calcolo Esempi

$3 x^{2} \ln (2 x)$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} \ln (2 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (2 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (2 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (2 x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{2 x}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

$2$ e $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 (x + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x + \ln (2 x) (2 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x + 3 (\ln (2 x) (2 x))$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x + 6 \ln (2 x) x$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$6 x \ln (2 x) + 3 x$