Calcolo Esempi

$\frac{x}{1 + x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.7.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.7.3.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$