Calcolo Esempi

$x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.5

Somma $3$ e $1$ .

$x^{\frac{4}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 12

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{\frac{4}{3}} + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 13.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.2

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.2.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.3.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.2.3.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.3.5.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.4

$- 4$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.6

Per scrivere $2 x^{\frac{4}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.7

$2 x^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 13.2.10

Somma $6 x^{\frac{4}{3}}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$