Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{x} (x + 5)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x + 5)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 5$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 11.2.1

$x$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.2

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 11.2.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.3.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.4

$5$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.5

Per scrivere $x^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.9

Somma $3 x^{\frac{1}{3}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$