Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} - 1}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} {2.7}^{h} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {2.7}^{h} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{{2.7}^{lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{2.7}^{lim_{h \to 0} h} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{{2.7}^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{2.7}^{h} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{2.7}^{h} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${2.7}^{h} - 1$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [{2.7}^{h}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{2.7}^{h}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d h} [a^{h}]$ è $a^{h} \ln (a)$ dove $a$ = $2.7$ .

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} \ln (2.7) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} \ln (2.7) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Somma ${2.7}^{h} \ln (2.7)$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} \ln (2.7)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} \ln (2.7)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi ${2.7}^{h} \ln (2.7)$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} {2.7}^{h} \ln (2.7)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\ln (2.7)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\ln (2.7) lim_{h \to 0} {2.7}^{h}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (2.7) \cdot {2.7}^{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\ln (2.7) \cdot {2.7}^{0}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (2.7) \cdot 1$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\ln (2.7)$ per $1$ .

$\ln (2.7)$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2.7)$

Forma decimale:

$0.99325177 \dots$