Calcolo Esempi

$\sqrt{4 \sin (x) + 2}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 \sin (x) + 2}$ come ${(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 \sin (x) + 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 \sin (x) + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 \sin (x) + 2$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 7.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 7.2.2

Sposta ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sin (x) + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 7.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 9.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + 0)$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 9.2.1

Somma $4 \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x))$

Passaggio 9.2.2

$4$ e $\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Passaggio 9.2.3

$\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.4

Scomponi $2$ da $4 \cos (x)$ .

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 ({(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cos (x)}{{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{2 \cos (x)}{{(2 + 4 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$