Calcolo Esempi

$\sqrt{x \ln (x^{4})}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x \ln (x^{4})}$ come ${(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x \ln (x^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{x^{4}}$ e $x$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

$4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.4.2

$\frac{4}{x^{3}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.4.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.4.3.2

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

Passaggio 10.6

Moltiplica $\ln (x^{4})$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la regola del prodotto a $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} (4 + \ln (x^{4}))$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \cdot 4 + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Passaggio 11.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Passaggio 11.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Passaggio 11.3.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Passaggio 11.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Passaggio 11.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Passaggio 11.3.4

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ e $\ln (x^{4})$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.5

Sposta ${\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $\ln (x^{4})$ per ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.6.1

Moltiplica $\ln (x^{4})$ per ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.6.1.1

Eleva $\ln (x^{4})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln^{1} (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.6.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.6.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$