Calcolo Esempi

$\sin^{2} (π x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (π x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (π x)$ .

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $π x$ .

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $π x$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Passaggio 3.3

Moltiplica $π$ per $1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori di $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

Passaggio 4.2

Aggiungi le parentesi.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

Passaggio 4.3

Riordina $2 π$ e $\cos (π x) \sin (π x)$ .

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

Passaggio 4.4

Aggiungi le parentesi.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

Passaggio 4.5

Riordina $\cos (π x)$ e $\sin (π x) \cdot 2$ .

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

Passaggio 4.6

Riordina $\sin (π x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

Passaggio 4.7

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 (π x)) π$

Passaggio 4.8

Riordina i fattori in $\sin (2 π x) π$ .

$π \sin (2 π x)$