Calcolo Esempi

$\frac{e^{5 x}}{x^{15}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{5 x}$ e $g (x) = x^{15}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{{(x^{15})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{15})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{15 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $15$ per $2$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$\frac{x^{15} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x^{15} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \cdot 5) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{15} (5 \cdot e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 15$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - e^{5 x} (15 x^{14})}{x^{30}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Passaggio 5.1.2

Riordina i fattori in $5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}$ .

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 x^{14} e^{5 x}}{x^{30}}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Passaggio 5.3

Scomponi $5 e^{5 x} x^{14}$ da $5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $5 e^{5 x} x^{14}$ da $5 e^{5 x} x^{15}$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $5 e^{5 x} x^{14}$ da $- 15 e^{5 x} x^{14}$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)}{x^{30}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $5 e^{5 x} x^{14}$ da $5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)}{x^{30}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $x^{14}$ e $x^{30}$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $x^{14}$ da $5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)$ .

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{30}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $x^{14}$ da $x^{30}$ .

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Passaggio 5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 e^{5 x} (x - 3)}{x^{16}}$