Calcolo Esempi

$\frac{120 x^{2}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1

Poiché $120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{120 x^{2}}{x^{2} + 4}$ rispetto a $x$ è $120 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

$120 \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$120 \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 4$ .

$120 \frac{2 \cdot (x^{2} + 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 6

Somma $1$ e $2$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 7

$120$ e $\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{120 (2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{120 ((2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{120 (2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{120 (2 x^{2} x) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{120 (2 (x \cdot x^{2})) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{120 (2 (x^{1} x^{2})) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{120 (2 x^{1 + 2}) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{120 (2 x^{3}) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.2

Moltiplica $2$ per $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{240 x^{3} + 120 (8 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.4

Moltiplica $8$ per $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 960 x + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 960 x - 240 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.2

Combina i termini opposti in $240 x^{3} + 960 x - 240 x^{3}$ .

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Passaggio 8.4.2.1

Sottrai $240 x^{3}$ da $240 x^{3}$ .

$\frac{960 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.2

Somma $960 x$ e $0$ .

$\frac{960 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$