Calcolo Esempi

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{3}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{4}{t^{2}}$ rispetto a $t$ è $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{1}{t^{2}}$ come ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Passaggio 4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 4.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

Passaggio 4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

Passaggio 4.7

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Passaggio 4.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

Passaggio 4.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

Passaggio 5.2

$8$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$