Calcolo Esempi

$f (t) = {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ e $g (t) = 9 t + 2$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 t + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 t + 2$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 6.3

Sposta ${(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [2])$

Passaggio 8

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])$

Passaggio 10

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 + \frac{d}{d t} [2])$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 + 0)$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

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Passaggio 12.1

Somma $9$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 9$

Passaggio 12.2

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $9$ .

$\frac{2 \cdot 9}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{18}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 12.4

Scomponi $3$ da $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.1

Scomponi $3$ da $3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 ({(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 6}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{{(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$