Calcolo Esempi

$y = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{t}$ come $t^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t^{5}}$ come $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.8

$\frac{5}{2}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 3.9

$4$ e $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{4 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{20 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 3.11

Scomponi $2$ da $20 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Passaggio 3.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.12.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 3.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

Passaggio 3.12.4

Dividi $10 t^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$10 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}}$