Calcolo Esempi

$y = \frac{t}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{({(t - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(t - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica ${(t - 1)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 (t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Scomponi $t - 1$ da ${(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $t - 1$ da ${(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1) - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $t - 1$ da $- 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $t - 1$ da $(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $t - 1$ da ${(t - 1)}^{4}$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + 0)}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 9

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 9.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t \cdot 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 9.3

Sottrai $2 t$ da $t$ .

$\frac{- t - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Scomponi $- 1$ da $- t$ .

$\frac{- (t) - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (t) - 1 (1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 10.3

Scomponi $- 1$ da $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{- (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 10.4

Riscrivi $- (t + 1)$ come $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{- 1 (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Passaggio 10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{3}}$