Calcolo Esempi

$\tan (\sqrt{3 t})$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 t}$ come ${(3 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 t)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 1.2

Scomponi $3$ da $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 1.3

Applica la regola del prodotto a $3 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $3^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 10

$3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

Riordina i fattori in $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$