Calcolo Esempi

$4 \cos^{2} (x) - 9 \cos (x) + 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (x)$ con $u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ e la cui somma è $b = - 9$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi $- 9$ come $- 1$ più $- 8$ .

$4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 u^{2} - 1 u) - 8 u + 2 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 2) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $4 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $4 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $4 \cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \cos (x) = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \cos (x) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \cos (x) = 1$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.4.1

Calcola $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Passaggio 3.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Passaggio 3.2.6.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Passaggio 3.2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Passaggio 3.2.6.2.2

Sottrai $1.31811607$ da $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Passaggio 3.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\cos (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\cos (x) - 2$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos (x) - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 2$

Passaggio 4.2.2

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $2$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ vera.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$