Calcolo Esempi

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

Passaggio 2

Espandi $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ spostando $1 - 3 x^{2}$ fuori dal logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{1}{25})$ come $\ln (1) - \ln (25)$ .

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Passaggio 4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Passaggio 5

Riscrivi $\ln (25)$ come $\ln (5^{2})$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

Passaggio 6

Espandi $\ln (5^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

Passaggio 7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Passaggio 8

Sottrai $2 \ln (5)$ da $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Passaggio 9

Espandi $\ln (3^{4 x})$ spostando $4 x$ fuori dal logaritmo.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Passaggio 10

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 10.1

Semplifica $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ .

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Passaggio 10.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Passaggio 10.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Passaggio 10.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Passaggio 10.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1.4.1

Moltiplica $- 2 \ln (5)$ per $1$ .

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Passaggio 10.1.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Passaggio 10.1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Passaggio 10.2

Sottrai $4 x \ln (3)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

Passaggio 10.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 10.4

Sostituisci i valori $a = 6 \ln (5)$ , $b = - 4 \ln (3)$ e $c = - 2 \ln (5)$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5

Semplifica.

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Passaggio 10.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.5.1.1

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.2

Sia $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ con $u$ .

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Passaggio 10.5.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.3

Scomponi $4$ da $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ .

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Passaggio 10.5.1.3.1

Scomponi $4$ da $16 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.5.1.5.1

Moltiplica $\ln (5)$ per $\ln (5)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.5.1.5.1.1

Sposta $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.5.1.2

Moltiplica $\ln (5)$ per $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.5.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.5.3

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.5.4

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.6

Scomponi $4$ da $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ .

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Passaggio 10.5.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.6.2

Scomponi $4$ da $12 \ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.6.3

Scomponi $4$ da $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.8

Riscrivi $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ come ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ .

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Passaggio 10.5.1.8.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Passaggio 10.5.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

Passaggio 10.5.3

Semplifica $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Passaggio 10.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Forma decimale:

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$