Calcolo Esempi

$10^{x + 3} = 5 e^{7 - x}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln (10^{x + 3}) = \ln (5 e^{7 - x})$

Passaggio 2

Espandi $\ln (10^{x + 3})$ spostando $x + 3$ fuori dal logaritmo.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5 e^{7 - x})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (5 e^{7 - x})$ come $\ln (5) + \ln (e^{7 - x})$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + \ln (e^{7 - x})$

Passaggio 4

Espandi $\ln (e^{7 - x})$ spostando $7 - x$ fuori dal logaritmo.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \ln (e)$

Passaggio 5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \cdot 1$

Passaggio 6

Moltiplica $7 - x$ per $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + 7 - x$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 7.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$(x + 3) \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica $x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5)$ .

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Passaggio 7.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1.1

Semplifica $3 \ln (10)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (10) + \ln (10^{3}) - \ln (5) = 7 - x$

Passaggio 7.3.1.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$x \ln (10) + \ln (1000) - \ln (5) = 7 - x$

Passaggio 7.3.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (10) + \ln (\frac{1000}{5}) = 7 - x$

Passaggio 7.3.1.3

Dividi $1000$ per $5$ .

$x \ln (10) + \ln (200) = 7 - x$

Passaggio 7.4

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (10) + \ln (200) + x = 7$

Passaggio 7.5

Sottrai $\ln (200)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (10) + x = 7 - \ln (200)$

Passaggio 7.6

Scomponi $x$ da $x \ln (10) + x$ .

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $x$ da $x \ln (10)$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Passaggio 7.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x (\ln (10)) + x \cdot 1 = 7 - \ln (200)$

Passaggio 7.6.4

Scomponi $x$ da $x (\ln (10)) + x \cdot 1$ .

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$

Passaggio 7.7

Dividi per $\ln (10) + 1$ ciascun termine in $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ e semplifica.

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Passaggio 7.7.1

Dividi per $\ln (10) + 1$ ciascun termine in $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ .

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Passaggio 7.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.7.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (10) + 1$ .

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Passaggio 7.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Passaggio 7.7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Passaggio 7.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} - \frac{\ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Passaggio 7.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Forma decimale:

$x = 0.51525777 \dots$