Calcolo Esempi

$x = 0$ , $x = 3$ , $y = 2 e^{3 x}$ , $y = e^{3 x} + e^{6}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 e^{3 x} = e^{3 x} + e^{6}$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 e^{3 x} = e^{3 x} + e^{6}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $e^{3 x}$ come un elevamento a potenza.

$2 e^{3 x} = {(e^{x})}^{3} + e^{6} = e^{3 x} + e^{6}$

Passaggio 1.2.2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$2 e^{3 x} = u^{3} + e^{6} = e^{3 x} + e^{6}$

Passaggio 1.2.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $e^{3 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 e^{3 x} - e^{3 x} = e^{6}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $e^{3 x}$ da $2 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = e^{6}$

Passaggio 1.2.4

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$3 x = 6$

Passaggio 1.2.5

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 6$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{3}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1

Dividi $6$ per $3$ .

$x = 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = e^{3 (2)} + e^{6}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $e^{3 (2)} + e^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = e^{6} + e^{6}$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $e^{6}$ e $e^{6}$ .

$y = 2 e^{6}$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(2, 2 e^{6})$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} - (2 e^{3 x}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} - 2 e^{3 x} d x$

Passaggio 3.3

Sottrai $2 e^{3 x}$ da $e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{6} - e^{3 x} d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} e^{6} d x + \int_{0}^{2} - e^{3 x} d x$

Passaggio 3.5

Applica la regola costante.

$e^{6} x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - e^{3 x} d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^{3 x} d x$

Passaggio 3.7

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.7.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.7.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Passaggio 3.7.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 3.7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 3.7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.8

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 3.9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{6} x]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Passaggio 3.10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{6} x]_{0}^{2} - \frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6}$

Passaggio 3.11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Calcola $e^{6} x$ per $2$ e per $0$ .

$(e^{6} \cdot 2) - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6}$

Passaggio 3.11.2

Calcola $e^{u}$ per $6$ e per $0$ .

$(e^{6} \cdot 2) - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Passaggio 3.11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{6}$ .

$2 \cdot e^{6} - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Passaggio 3.11.3.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$2 e^{6} + 0 e^{6} - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Passaggio 3.11.3.3

Moltiplica $0$ per $e^{6}$ .

$2 e^{6} + 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Passaggio 3.11.3.4

Somma $2 e^{6}$ e $0$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Passaggio 3.11.3.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.11.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} (e^{6} - 1)$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 e^{6} - \frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.12.1.2

$e^{6}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.12.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} + 1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 3.12.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.12.2

Per scrivere $2 e^{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 e^{6} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.12.3

$2 e^{6}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 e^{6} \cdot 3 - e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 e^{6} \cdot 3 - e^{6} + 1}{3}$

Passaggio 3.12.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 e^{6} - e^{6} + 1}{3}$

Passaggio 3.12.7

Sottrai $e^{6}$ da $6 e^{6}$ .

$\frac{5 e^{6} + 1}{3}$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{2}^{3} 2 e^{3 x} d x - \int_{2}^{3} e^{3 x} + e^{6} d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $2$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{2}^{3} 2 e^{3 x} - (e^{3 x} + e^{6}) d x$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{2}^{3} 2 e^{3 x} - e^{3 x} - e^{6} d x$

Passaggio 5.3

Sottrai $e^{3 x}$ da $2 e^{3 x}$ .

$\int_{2}^{3} e^{3 x} - e^{6} d x$

Passaggio 5.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{3} e^{3 x} d x + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Passaggio 5.5

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.5.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 5.5.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{lower} = 6$

Passaggio 5.5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 3$

Passaggio 5.5.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 5.5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 5.5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{6}^{9} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Passaggio 5.6

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{6}^{9} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Passaggio 5.7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{6}^{9} e^{u} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Passaggio 5.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{6}^{9} + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

Passaggio 5.9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{6}^{9} + - e^{6} x]_{2}^{3}$

Passaggio 5.10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Calcola $e^{u}$ per $9$ e per $6$ .

$\frac{1}{3} ((e^{9}) - e^{6}) + - e^{6} x]_{2}^{3}$

Passaggio 5.10.2

Calcola $- e^{6} x$ per $3$ e per $2$ .

$\frac{1}{3} ((e^{9}) - e^{6}) + (- e^{6} \cdot 3) + e^{6} \cdot 2$

Passaggio 5.10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.3.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - 3 e^{6} + e^{6} \cdot 2$

Passaggio 5.10.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{6}$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - 3 e^{6} + 2 \cdot e^{6}$

Passaggio 5.10.3.3

Somma $- 3 e^{6}$ e $2 e^{6}$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - e^{6}$

Passaggio 5.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} e^{9} + \frac{1}{3} (- e^{6}) - e^{6}$

Passaggio 5.11.1.2

$\frac{1}{3}$ e $e^{9}$ .

$\frac{e^{9}}{3} + \frac{1}{3} (- e^{6}) - e^{6}$

Passaggio 5.11.1.3

$\frac{1}{3}$ e $e^{6}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} - e^{6}$

Passaggio 5.11.2

Per scrivere $- e^{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} - e^{6} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.11.3

$- e^{6}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{- e^{6} \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{9}}{3} + \frac{- e^{6} - e^{6} \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.11.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{9} - e^{6} - e^{6} \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.11.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{e^{9} - e^{6} - 3 e^{6}}{3}$

Passaggio 5.11.7

Sottrai $3 e^{6}$ da $- e^{6}$ .

$\frac{e^{9} - 4 e^{6}}{3}$

Passaggio 6

Somma le aree $\frac{5 e^{6} + 1}{3} + \frac{e^{9} - 4 e^{6}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 e^{6} + 1 + e^{9} - 4 e^{6}}{3}$

Passaggio 6.2

Sottrai $4 e^{6}$ da $5 e^{6}$ .

$\frac{e^{6} + 1 + e^{9}}{3}$

Passaggio 7