Calcolo Esempi

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'argomento del logaritmo in modo che risulti uguale a zero.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.2

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 2$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Sottrai $12$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.7

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.3

Sottrai $12$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.4

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.7

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 1.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Sottrai $12$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.4

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.7

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 1.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 1.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 1.3

L'asintoto verticale avviene a $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ .

Asintoto verticale: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Passaggio 2.3

Converti $\ln (2)$ in decimale.

$y = 0.69314718$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $4$ da $12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $8$ e $1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Passaggio 3.3

Converti $\ln (9)$ in decimale.

$y = 2.19722457$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Passaggio 4.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $6$ da $27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $21$ e $1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Passaggio 4.3

Converti $\ln (22)$ in decimale.

$y = 3.09104245$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente usando l'asintoto verticale in $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ e i punti $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Asintoto verticale: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Passaggio 6