Calcolo Esempi

$y = 6 x^{2} - x^{3}$ , $(1, 5)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 5$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x - (3 x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$12 x - 3 x^{2}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} + 12 x$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- 3 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 3 \cdot 1 + 12 (1)$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 + 12 (1)$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$- 3 + 12$

Passaggio 1.6.2

Somma $- 3$ e $12$ .

$9$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $9$ e un punto dato $(1, 5)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 9 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 5 = 9 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $9 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 5 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 5 = 9 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 5 = 9 x + 9 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$y - 5 = 9 x - 9$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 9 x - 9 + 5$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 9$ e $5$ .

$y = 9 x - 4$

Passaggio 3