Calcolo Esempi

x^{2} + x y - y^{2} = - 9

$x^{2} + x y - y^{2} = - 9$ ,

(3, 6)

$(3, 6)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi

x = 3

$x = 3$ e

y = 6

$y = 6$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 9)

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

x^{2} + x y - y^{2}

$x^{2} + x y - y^{2}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola

\frac{d}{d x} [x y]

$\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = y

$g (x) = y$ .

2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ come

$y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica

$y$ per

$1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- y^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = x^{2}$ e

$g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$y$ .

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è

$n u^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$2 x + x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$y$ .

$2 x + x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi

$\frac{d}{d x} [y]$ come

$y'$ .

$2 x + x y' + y - (2 y y')$

Passaggio 1.2.3.4

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$2 x + x y' + y - 2 y y'$

Passaggio 1.2.4

Riordina i termini.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y$

Passaggio 1.3

Poiché

$- 9$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 9$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per

$y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti

$y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai

$2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' - 2 y y' + y = - 2 x$

Passaggio 1.5.1.2

Sottrai

$y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' - 2 y y' = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2

Scomponi

$y'$ da

$x y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi

$y'$ da

$x y'$ .

$y' x - 2 y y' = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi

$y'$ da

$- 2 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi

$y'$ da

$y' (x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.3

Dividi per

$x - 2 y$ ciascun termine in

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per

$x - 2 y$ ciascun termine in

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ .

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Dividi

$y'$ per

$1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Scomponi

$- 1$ da

$- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.3

Scomponi

$- 1$ da

$- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.4

Scomponi

$- 1$ da

$- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.5.1

Riscrivi

$- (2 x + y)$ come

$- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.7

Calcola con

$x = 3$ e

$y = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$- \frac{2 (3) + y}{(3) - 2 y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile

$y$ con

$6$ nell'espressione.

$- \frac{2 (3) + 6}{(3) - 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.7.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Rimuovi le parentesi.

$- \frac{2 (3) + 6}{(3) - 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.7.3.2

Elimina il fattore comune di

$2 (3) + 6$ e

$(3) - 2 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.2.1

Riscrivi

$3$ come

$- 1 (- 3)$ .

$- \frac{2 (3) + 6}{- 1 (- 3) - 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.7.3.2.2

Scomponi

$- 1$ da

$- 2 \cdot 6$ .

$- \frac{2 (3) + 6}{- 1 (- 3) - (2 \cdot 6)}$

Passaggio 1.7.3.2.3

Scomponi

$- 1$ da

$- 1 (- 3) - (2 \cdot 6)$ .

$- \frac{2 (3) + 6}{- 1 (- 3 + 2 \cdot 6)}$

Passaggio 1.7.3.2.4

Riordina i termini.

$- \frac{2 (3) + 6}{- 1 (2 \cdot 6 - 3)}$

Passaggio 1.7.3.2.5

Scomponi

$3$ da

$2 (3)$ .

$- \frac{3 \cdot 2 + 6}{- 1 (2 \cdot 6 - 3)}$

Passaggio 1.7.3.2.6

Scomponi

$3$ da

$6$ .

$- \frac{3 \cdot 2 + 3 (2)}{- 1 (2 \cdot 6 - 3)}$

Passaggio 1.7.3.2.7

Scomponi

$3$ da

$3 \cdot 2 + 3 (2)$ .

$- \frac{3 \cdot (2 + 2)}{- 1 (2 \cdot 6 - 3)}$

Passaggio 1.7.3.2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.2.8.1

Scomponi

$3$ da

$- 1 (2 \cdot 6 - 3)$ .

$- \frac{3 \cdot (2 + 2)}{3 (- 1 (2 \cdot 2 - 1))}$

Passaggio 1.7.3.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot (2 + 2)}{3 (- 1 (2 \cdot 2 - 1))}$

Passaggio 1.7.3.2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 + 2}{- 1 (2 \cdot 2 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.3

Somma

$2$ e

$2$ .

$- \frac{4}{- 1 (2 \cdot 2 - 1)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$- \frac{4}{- 1 (4 - 1)}$

Passaggio 1.7.4.2

Sottrai

$1$ da

$4$ .

$- \frac{4}{- 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$- \frac{4}{- 3}$

Passaggio 1.7.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{4}{3}$

Passaggio 1.7.6

Moltiplica

$- - \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$1 (\frac{4}{3})$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica

$\frac{4}{3}$ per

$1$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare

$\frac{4}{3}$ e un punto dato

$(3, 6)$ da inserire al posto di

$x_{1}$ e

$y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{4}{3} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 6 = \frac{4}{3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica

$\frac{4}{3} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{4}{3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 6 = \frac{4}{3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{4}{3}$ e

$x$ .

$y - 6 = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi

$3$ da

$- 3$ .

$y - 6 = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1))$

Passaggio 2.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$y - 6 = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 6 = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica

$4$ per

$- 1$ .

$y - 6 = \frac{4 x}{3} - 4$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti

$y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma

$6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{4 x}{3} - 4 + 6$

Passaggio 2.3.2.2

Somma

$- 4$ e

$6$ .

$y = \frac{4 x}{3} + 2$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{4}{3} x + 2$

Passaggio 3