Calcolo Esempi

$y^{2} - x^{3} = 9$ , $(3, - 6)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = - 6$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 y y' - (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 y y' - 3 x^{2}$

Passaggio 1.2.4

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} + 2 y y'$

Passaggio 1.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 3 x^{2} + 2 y y' = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Somma $3 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' = 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 3 x^{2}$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 3$ e $y = - 6$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$\frac{3 {(3)}^{2}}{2 y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $- 6$ nell'espressione.

$\frac{3 {(3)}^{2}}{2 (- 6)}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.7.3.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{2 (- 6)}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{1 + 2}}{2 (- 6)}$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3^{3}}{2 (- 6)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27}{2 (- 6)}$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{27}{- 12}$

Passaggio 1.7.5

Elimina il fattore comune di $27$ e $- 12$ .

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Passaggio 1.7.5.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 (9)}{- 12}$

Passaggio 1.7.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.2.1

Scomponi $3$ da $- 12$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot - 4}$

Passaggio 1.7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot - 4}$

Passaggio 1.7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{- 4}$

Passaggio 1.7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{4}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- \frac{9}{4}$ e un punto dato $(3, - 6)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 6) = - \frac{9}{4} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + 6 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 6 = 0 + 0 - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 6 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 6 = - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{9}{4}$ .

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} - \frac{9}{4} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{9}{4} \cdot - 3$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + 3 (\frac{9}{4})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$3$ e $\frac{9}{4}$ .

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{4}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{27}{4}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $9$ alla sinistra di $x$ .

$y + 6 = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} - 6$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

$- 6$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27 - 6 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27 - 24}{4}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $24$ da $27$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{9}{4} x) + \frac{3}{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{9}{4} x + \frac{3}{4}$

Passaggio 3