Calcolo Esempi

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + 4$ e $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

Passaggio 1.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

Passaggio 1.2.7.2

Riordina i termini.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Passaggio 1.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $y'$ da $x^{2} y' + 4 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y'$ da $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $y'$ da $4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' x^{2} + y' \cdot 4$ .

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $x^{2} + 4$ ciascun termine in $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $x^{2} + 4$ ciascun termine in $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $4$ e $4$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 1.7.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 1.7.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 1.7.4.2.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.4.3

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- \frac{1}{2}$ e un punto dato $(2, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Passaggio 3