Calcolo Esempi

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Passaggio 1.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Passaggio 1.2.6.2

Riordina i termini.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riordina i fattori in $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $y \sec^{2} (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $x \sec^{2} (x y)$ ciascun termine in $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $x \sec^{2} (x y)$ ciascun termine in $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 1.5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.3

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ come ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.4

Riscrivi $\sec ((1) \cdot (0))$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ .

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.6.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.6.2

Moltiplica $\cos (0)$ per $1$ .

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1^{2} - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - \frac{0}{1}$

Passaggio 1.7.3.9

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - 0$

Passaggio 1.7.3.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.7.4

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(1, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$y = x - 1$

Passaggio 3