Calcolo Esempi

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ , $(3, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 1.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 1.2.6.2

Riordina i fattori di $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 (x^{2} - y^{2})$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Passaggio 1.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Passaggio 1.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Passaggio 1.3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 1.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$25 (2 x - 2 y y')$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Passaggio 1.3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Passaggio 1.3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Passaggio 1.3.5.3

Riordina i termini.

$- 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.3

Espandi $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.7

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.7.1

Sposta $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.7.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.1.4.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 1.5.2

Somma $50 y y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Passaggio 1.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sottrai $8 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Passaggio 1.5.3.2

Sottrai $8 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4

Scomponi $2 y y'$ da $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $2 y y'$ da $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.2

Scomponi $2 y y'$ da $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.3

Scomponi $2 y y'$ da $50 y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.4

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.5

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dividi per $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ ciascun termine in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Dividi per $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ ciascun termine in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $50$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $50 x$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.5.1

Scomponi $y$ da $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Passaggio 1.5.5.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Passaggio 1.5.5.3.2

Per scrivere $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 1.5.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Passaggio 1.5.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.6.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.7

Scomponi $x$ da $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.7.1

Scomponi $x$ da $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.7.2

Scomponi $x$ da $25 x$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.7.3

Scomponi $x$ da $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.7.4

Scomponi $x$ da $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.7.5

Scomponi $x$ da $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.9

Riscrivi $25$ come $- 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.11

Scomponi $- 1$ da $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.12

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.13.1

Riscrivi $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ come $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.5.5.3.13.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 3$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 {(3)}^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 {(1)}^{2})}{(1) (4 {(3)}^{2} + 4 {(1)}^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{3 (4 \cdot 9 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7.3.5

Sottrai $25$ da $36$ .

$- \frac{3 (11 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7.3.6

Somma $11$ e $4$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25$ per $1$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $3$ per $15$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 9 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Passaggio 1.7.5.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Passaggio 1.7.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1 + 25}$

Passaggio 1.7.5.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{45}{36 + 4 + 25}$

Passaggio 1.7.5.5

Somma $36$ e $4$ .

$- \frac{45}{40 + 25}$

Passaggio 1.7.5.6

Somma $40$ e $25$ .

$- \frac{45}{65}$

Passaggio 1.7.6

Elimina il fattore comune di $45$ e $65$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Scomponi $5$ da $45$ .

$- \frac{5 (9)}{65}$

Passaggio 1.7.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.2.1

Scomponi $5$ da $65$ .

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Passaggio 1.7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Passaggio 1.7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9}{13}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{9}{13}$ e un punto dato $(3, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{13} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{9}{13} x - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{9}{13} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + 3 (\frac{9}{13})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$3$ e $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{3 \cdot 9}{13}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{27}{13}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $9$ alla sinistra di $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + \frac{13}{13}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27 + 13}{13}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $27$ e $13$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{40}{13}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{9}{13} x) + \frac{40}{13}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{9}{13} x + \frac{40}{13}$

Passaggio 3