Calcolo Esempi

$y = x^{2}$ , $y = 2 x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} = 2 x$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} = 2 x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - 2 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$x (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0 + y = 2 x$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 2 (0)$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = 2 (2)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = 4$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(2, 4)$

$(0, 0)$

$(2, 4)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{2} 2 x d x - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{2} 2 x - (x^{2}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{2}$ .

$\int_{0}^{2} 2 x - x^{2} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Passaggio 3.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $0$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.9.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$2 (2 - 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (2 + 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$2 \cdot 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.8

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.10.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.9.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$4 - (\frac{8}{3} - 0)$

Passaggio 3.9.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} + 0)$

Passaggio 3.9.2.3.12

Somma $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$4 - \frac{8}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.13

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.14

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 3 - 8}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.16.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12 - 8}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.16.2

Sottrai $8$ da $12$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 4