Calcolo Esempi

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - x^{2}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} = 2 x - x^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} = 2 x - x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$2 x - x^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$2 u - 2 u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Scomponi $2 u$ da $2 u - 2 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $2 u$ da $2 u$ .

$2 u (1) - 2 u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3.2.2

Scomponi $2 u$ da $- 2 u^{2}$ .

$2 u (1) + 2 u (- u) = 0$

Passaggio 1.2.3.2.3

Scomponi $2 u$ da $2 u (1) + 2 u (- u)$ .

$2 u (1 - u) = 0$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$2 x (1 - x) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 x - x^{2}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.6

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 1.2.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (1 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 2 (0) - {(0)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = 2 (0) - {(0)}^{2}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 (0) - 0^{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $2 (0) - 0^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$y = 0 - 0^{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 0$

Passaggio 1.3.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$y = 0 + 0$

Passaggio 1.3.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = 2 (1) - {(1)}^{2}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = 2 (1) - {(1)}^{2}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 (1) - 1^{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica $2 (1) - 1^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = 2 - 1^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 2 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = 2 - 1$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$y = 1$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Passaggio 2

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x^{2}) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} + 2 x d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Passaggio 4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Passaggio 4.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Passaggio 4.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

Passaggio 4.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 4.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 4.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$- 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 4.9.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$- 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} + 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.5

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.6

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.10.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.9.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.9.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 4.9.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Passaggio 4.9.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Passaggio 4.9.2.3.12

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.13

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

Passaggio 4.9.2.3.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.14.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

Passaggio 4.9.2.3.14.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{3} + 1$

Passaggio 4.9.2.3.15

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

Passaggio 4.9.2.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 + 3}{3}$

Passaggio 4.9.2.3.17

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 5