Calcolo Esempi

$y = x^{2} + 6 x - 4$ , $y = x + 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 6 x - 4 - x = 2$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $x$ da $6 x$ .

$x^{2} + 5 x - 4 = 2$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 5 x - 4 - 2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x^{2} + 5 x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $5$ .

$- 1, 6 + y = x + 2$

Passaggio 1.2.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) (x + 6) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0 + y = x + 2$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 1, - 6$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = (1) + 2$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = (1) + 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1 + 2$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (1) + 2$

Passaggio 1.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$y = 3$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 6$ .

$y = (- 6) + 2$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $- 6$ per $x$ in $y = (- 6) + 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 6 + 2$

Passaggio 1.4.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (- 6) + 2$

Passaggio 1.4.2.3

Somma $- 6$ e $2$ .

$y = - 4$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 6}^{1} x + 2 d x - \int_{- 6}^{1} x^{2} + 6 x - 4 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 6$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - (x^{2} + 6 x - 4) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 2 - x^{2} - (6 x) - - 4$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$x + 2 - x^{2} - 6 x - - 4$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$x + 2 - x^{2} - 6 x + 4$

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - x^{2} - 6 x + 4 d x$

Passaggio 3.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $6 x$ da $x$ .

$- 5 x + 2 - x^{2} + 4$

Passaggio 3.3.2

Somma $2$ e $4$ .

$- 5 x - x^{2} + 6$

$\int_{- 6}^{1} - 5 x - x^{2} + 6 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 6}^{1} - 5 x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$- 5 \int_{- 6}^{1} x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - \int_{- 6}^{1} x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Passaggio 3.10

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Passaggio 3.11

Applica la regola costante.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Passaggio 3.12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 6$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Passaggio 3.12.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 6$ .

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Passaggio 3.12.3

Calcola $6 x$ per $1$ e per $- 6$ .

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{36}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.3

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.3.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 (1)}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{18}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.3.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.4

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.5

Per scrivere $- 18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.6

$- 18$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 \frac{1 - 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.8.1

Moltiplica $- 18$ per $2$ .

$- 5 \frac{1 - 36}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.8.2

Sottrai $36$ da $1$ .

$- 5 (\frac{- 35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 5 (- \frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.10

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.11

$5$ e $\frac{35}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.12

Moltiplica $5$ per $35$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.14

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 216}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.15

Elimina il fattore comune di $- 216$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.15.1

Scomponi $3$ da $- 216$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.15.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 72}{1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.15.2.4

Dividi $- 72$ per $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - - 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.16

Moltiplica $- 1$ per $- 72$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.17

Per scrivere $72$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.18

$72$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 72 \cdot 3}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.20.1

Moltiplica $72$ per $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 216}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.20.2

Somma $1$ e $216$ .

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.21

Per scrivere $\frac{175}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.22

Per scrivere $- \frac{217}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.23

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.23.1

Moltiplica $\frac{175}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.23.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.23.3

Moltiplica $\frac{217}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.23.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.25

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.25.1

Moltiplica $175$ per $3$ .

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.25.2

Moltiplica $- 217$ per $2$ .

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.25.3

Sottrai $434$ da $525$ .

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.26

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{91}{6} + 6 - 6 \cdot - 6$

Passaggio 3.12.4.27

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$\frac{91}{6} + 6 + 36$

Passaggio 3.12.4.28

Somma $6$ e $36$ .

$\frac{91}{6} + 42$

Passaggio 3.12.4.29

Per scrivere $42$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 3.12.4.30

$42$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

Passaggio 3.12.4.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

Passaggio 3.12.4.32

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.32.1

Moltiplica $42$ per $6$ .

$\frac{91 + 252}{6}$

Passaggio 3.12.4.32.2

Somma $91$ e $252$ .

$\frac{343}{6}$

Passaggio 4