Calcolo Esempi

$y = 2 x + 8$ , $y = x^{2}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x + 8 = x^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x + 8 = x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x + 8 - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $2 x + 8 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Sposta $8$ .

$2 x - x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2 + y = x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 4) (x + 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 4) (x + 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x^{2}$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 4) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 4, - 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$y = {(4)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $4$ per $x$ in $y = {(4)}^{2}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4^{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = 16$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 1.4.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = 4$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(4, 16)$

$(- 2, 4)$

$(4, 16)$

$(- 2, 4)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 2}^{4} 2 x + 8 d x - \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 2$ e $4$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 2}^{4} 2 x + 8 - (x^{2}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} 2 x + 8 - x^{2} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 2}^{4} 2 x d x + \int_{- 2}^{4} 8 d x + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- 2}^{4} x d x + \int_{- 2}^{4} 8 d x + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{4}) + \int_{- 2}^{4} 8 d x + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + \int_{- 2}^{4} 8 d x + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.7

Applica la regola costante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + 8 x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + 8 x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + 8 x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{4})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + 8 x]_{- 2}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{4})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $- 2$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 x]_{- 2}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{4})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $8 x$ per $4$ e per $- 2$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{4})$

Passaggio 3.10.2.3

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $- 2$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$2 (8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$2 (8 - \frac{4}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (8 - \frac{2}{1}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 (8 - 1 \cdot 2) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (8 - 2) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.6

Sottrai $2$ da $8$ .

$2 \cdot 6 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.7

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.8

Moltiplica $8$ per $4$ .

$12 + 32 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.9

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$12 + 32 + 16 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.10

Somma $32$ e $16$ .

$12 + 48 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.11

Somma $12$ e $48$ .

$60 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.12

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$60 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.13

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$60 - (\frac{64}{3} - \frac{- 8}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$60 - (\frac{64}{3} - - \frac{8}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$60 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

Passaggio 3.10.2.4.16

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $1$ .

$60 - (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$60 - \frac{64 + 8}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.18

Somma $64$ e $8$ .

$60 - \frac{72}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.19

Elimina il fattore comune di $72$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.19.1

Scomponi $3$ da $72$ .

$60 - \frac{3 \cdot 24}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.19.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.19.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$60 - \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

Passaggio 3.10.2.4.19.2.2

Elimina il fattore comune.

$60 - \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

Passaggio 3.10.2.4.19.2.3

Riscrivi l'espressione.

$60 - \frac{24}{1}$

Passaggio 3.10.2.4.19.2.4

Dividi $24$ per $1$ .

$60 - 1 \cdot 24$

Passaggio 3.10.2.4.20

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$60 - 24$

Passaggio 3.10.2.4.21

Sottrai $24$ da $60$ .

$36$

Passaggio 4