Calcolo Esempi

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = - x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$4 x - x^{2} = - x$

Passaggio 1.2

Risolvi $4 x - x^{2} = - x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x - x^{2} + x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Somma $4 x$ e $x$ .

$- x^{2} + 5 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $- x$ da $- x^{2} + 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- x$ da $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 5 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $- x$ da $5 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 5 = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $- x$ da $- x (x) - x (- 5)$ .

$- x (x - 5) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0 + y = - x$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (x - 5) = 0$ vera.

$x = 0, 5$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = - (0)$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $5$ .

$y = - (5)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = - 5$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

Passaggio 2

Riordina $4 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{5} - x d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x - (- x) d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- x^{2} + 4 x + 1 x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- x^{2} + 4 x + x$

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x + x d x$

Passaggio 4.3

Somma $4 x$ e $x$ .

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 5 x d x$

Passaggio 4.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{5} - x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Passaggio 4.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Passaggio 4.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Passaggio 4.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 \int_{0}^{5} x d x$

Passaggio 4.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5})$

Passaggio 4.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Passaggio 4.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $5$ e per $0$ .

$- ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Passaggio 4.10.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $5$ e per $0$ .

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (\frac{125}{3} - 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (\frac{125}{3} + 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.5

Somma $\frac{125}{3}$ e $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.8

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.8.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.10.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.10.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 4.10.2.3.8.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - 0)$

Passaggio 4.10.2.3.9

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} + 0)$

Passaggio 4.10.2.3.10

Somma $\frac{25}{2}$ e $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.11

$5$ e $\frac{25}{2}$ .

$- \frac{125}{3} + \frac{5 \cdot 25}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.12

Moltiplica $5$ per $25$ .

$- \frac{125}{3} + \frac{125}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.13

Per scrivere $- \frac{125}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.14

Per scrivere $\frac{125}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.10.2.3.15

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.15.1

Moltiplica $\frac{125}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.10.2.3.15.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.10.2.3.15.3

Moltiplica $\frac{125}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.10.2.3.15.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{6}$

Passaggio 4.10.2.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 125 \cdot 3}{6}$

Passaggio 4.10.2.3.17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.17.1

Moltiplica $- 125$ per $2$ .

$\frac{- 250 + 125 \cdot 3}{6}$

Passaggio 4.10.2.3.17.2

Moltiplica $125$ per $3$ .

$\frac{- 250 + 375}{6}$

Passaggio 4.10.2.3.17.3

Somma $- 250$ e $375$ .

$\frac{125}{6}$

Passaggio 5