Calcolo Esempi

$y = 2 x + 15$ , $y = x^{2}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x + 15 = x^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x + 15 = x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x + 15 - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $2 x + 15 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Sposta $15$ .

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Riscrivi $15$ come $- 1 (- 15)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 5, 3 + y = x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x^{2}$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 5) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 5, - 3$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $5$ .

$y = {(5)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $5$ per $x$ in $y = {(5)}^{2}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 5^{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$y = 25$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 1.4.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$y = 9$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(5, 25)$

$(- 3, 9)$

$(5, 25)$

$(- 3, 9)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 3}^{5} 2 x + 15 d x - \int_{- 3}^{5} x^{2} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 3$ e $5$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 3}^{5} 2 x + 15 - (x^{2}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{2}$ .

$\int_{- 3}^{5} 2 x + 15 - x^{2} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 3}^{5} 2 x d x + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- 3}^{5} x d x + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Passaggio 3.7

Applica la regola costante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - \int_{- 3}^{5} x^{2} d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $5$ e per $- 3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $15 x$ per $5$ e per $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Passaggio 3.10.2.3

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $5$ e per $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4

Sottrai $9$ da $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.5

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.5.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{8}{1}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.5.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$2 \cdot 8 + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.6

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.7

Moltiplica $15$ per $5$ .

$16 + 75 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.8

Moltiplica $- 15$ per $- 3$ .

$16 + 75 + 45 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.9

Somma $75$ e $45$ .

$16 + 120 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.10

Somma $16$ e $120$ .

$136 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.11

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.12

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.13

Elimina il fattore comune di $- 27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.13.1

Scomponi $3$ da $- 27$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.13.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Passaggio 3.10.2.4.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.4.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1})$

Passaggio 3.10.2.4.13.2.4

Dividi $- 9$ per $1$ .

$136 - (\frac{125}{3} - - 9)$

Passaggio 3.10.2.4.14

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$136 - (\frac{125}{3} + 9)$

Passaggio 3.10.2.4.15

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$136 - (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.16

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$136 - (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$136 - \frac{125 + 9 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.18.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$136 - \frac{125 + 27}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.18.2

Somma $125$ e $27$ .

$136 - \frac{152}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.19

Per scrivere $136$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$136 \cdot \frac{3}{3} - \frac{152}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.20

$136$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{136 \cdot 3}{3} - \frac{152}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{136 \cdot 3 - 152}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.22.1

Moltiplica $136$ per $3$ .

$\frac{408 - 152}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.22.2

Sottrai $152$ da $408$ .

$\frac{256}{3}$

Passaggio 4