Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{{(9 + h)}^{3} - 729}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} {(9 + h)}^{3} - 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(9 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $3$ da ${(9 + h)}^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 9 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 9 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(9 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $729$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(9 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 1 \cdot 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{{(9 + 0)}^{3} - 1 \cdot 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Somma $9$ e $0$ .

$\frac{9^{3} - 1 \cdot 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$\frac{729 - 1 \cdot 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $729$ .

$\frac{729 - 729}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $729$ da $729$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{{(9 + h)}^{3} - 729}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 + h)}^{3} - 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 + h)}^{3} - 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(9 + h)}^{3} - 729$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [{(9 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 729]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [{(9 + h)}^{3}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{3}$ e $g (h) = 9 + h$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $9$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 729]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 729$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 729$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $3 {(9 + h)}^{2}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(9 + h)}^{2}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $3 {(9 + h)}^{2}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 {(9 + h)}^{2}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$3 lim_{h \to 0} {(9 + h)}^{2}$

Passaggio 2.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(9 + h)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$3 {(lim_{h \to 0} 9 + h)}^{2}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$3 {(lim_{h \to 0} 9 + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$3 {(9 + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 {(9 + 0)}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Somma $9$ e $0$ .

$3 \cdot 9^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 81$

Passaggio 4.3

Moltiplica $3$ per $81$ .

$243$