Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{1}{2} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 2 + x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.6

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.1.3

Somma $- 2$ e $0$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot - 2}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{4}}$

Passaggio 2.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.3

Scomponi $- 1$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) - 1 (- x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - 1 (- x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2 - x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 - x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.7

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.8

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.9

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.10

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.11.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.8.11.2

Dividi $x$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{4 x^{3}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 4.1.2.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 4.1.2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Passaggio 4.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{3}}$

Passaggio 4.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 4.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 4.3.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{3 x^{2}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 6.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 6.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 6.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Passaggio 6.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Passaggio 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3.4.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3.5

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

Passaggio 7

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Passaggio 8

Poiché $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ e $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , applica il teorema del confronto.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{12}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{12 \cdot 2} \cdot 1$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$\frac{1}{24} \cdot 1$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\frac{1}{24}$ per $1$ .

$\frac{1}{24}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{24}$

Forma decimale:

$0.041\overline{6}$