Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $a$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.7

Calcola il limite di $a$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.8.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.9

Combina i termini opposti in $\cos (a + 0) - \cos (a + 0)$ .

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Passaggio 1.1.2.9.1

Somma $a$ e $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.9.2

Somma $a$ e $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.9.3

Sottrai $\cos (a)$ da $\cos (a)$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (a + x) - \cos (a - x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a + x$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $a + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (a - x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a - x$ .

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Passaggio 1.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $a - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.4

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.8

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (1 \sin (a - x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.10

Moltiplica $\sin (a - x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $- \sin (a + x) - \sin (a - x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (a + x) - \sin (a - x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $a$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - x)$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $a$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Combina i termini opposti in $- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$ .

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Passaggio 4.1.1

Somma $a$ e $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a + 0)$

Passaggio 4.1.2

Somma $a$ e $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a)$

Passaggio 4.2

Sottrai $\sin (a)$ da $- \sin (a)$ .

$- 2 \sin (a)$