Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

Passaggio 1

Moltiplica il numeratore e il denominatore per $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x)}{\sin (π x) \cdot (π x)}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore e il denominatore per $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x) \cdot x}{x \cdot \sin (π x) \cdot (π x)}$

Passaggio 3

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot \frac{x}{π x}$

Passaggio 4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5

Il limite di $\frac{\sin (x)}{x}$ quando $x$ tende a $0$ è $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite.

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Passaggio 5.4.1

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.4.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 5.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6

Il limite di $\frac{π x}{\sin (π x)}$ quando $x$ tende a $0$ è $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} π x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 6.1.2.1

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$1 \cdot \frac{π lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$1 \cdot \frac{π \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.2.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.3.1.2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1.3.3.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 6.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.5.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.6

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.8

Moltiplica $π$ per $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) π} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.3.9

Riordina i fattori di $\cos (π x) π$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.5

Converti da $\frac{1}{\cos (π x)}$ a $\sec (π x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.6.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.6.2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$1 \cdot \sec (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.7

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$1 \cdot \sec (π \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 6.8.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Passaggio 7.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{π}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $\frac{1}{π}$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{π}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 \cdot \frac{1}{π}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $1$ .

$\frac{1}{π}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{π}$

Forma decimale:

$0.31830988 \dots$