Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Passaggio 1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\tan (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\tan (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Converti da $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 1.4.2

Converti da $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Passaggio 2

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Passaggio 3

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (3 x) \cot (5 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5662362 \\ - 0.01 & 0.59967983 \\ - 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Passaggio 4

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.6$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (3 x) \cot (5 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0.6$ .

$0.6$

Passaggio 5

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Passaggio 6

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (3 x) \cot (5 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5662362 \\ 0.01 & 0.59967983 \\ 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Passaggio 7

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.6$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (3 x) \cot (5 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0.6$ .

$0.6$