Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{3 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 4 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 8 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i fattori di $\cos (4 x^{2}) (8 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (4 x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (4 x^{2})}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $8 x \cos (4 x^{2})$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 8 x \cos (4 x^{2})$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cos (4 x^{2})$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x^{2})$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x^{2})$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x^{2})$

Passaggio 3.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 0 \cdot \cos (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} \cdot 0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $0$ .

$0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 \cdot \cos (4 \cdot 0)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Passaggio 5.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 5.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$