Calcolo Esempi

$lim_{x \to 7} \frac{x - 7}{x^{2} - 49}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 7} x - 7}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $7$ per $x$ .

$\frac{7 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $7$ da $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $49$ che è costante, mentre $x$ tende a $7$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $7$ per $x$ .

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $49$ .

$\frac{0}{49 - 49}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $49$ da $49$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 7} \frac{x - 7}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 49$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 x + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 7} \frac{1}{x}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $7$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 7}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{1}{14}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{14}$

Forma decimale:

$0.0\overline{714285}$