Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{1 + 3 x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + 3 x}$ come ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 3 x$ .

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Passaggio 1.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.4.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.12

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 3) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.13

Somma $0$ e $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.14

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.15

$\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.16

Sposta $3$ alla sinistra di ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.4.17

Sposta ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Passaggio 1.3.6

Somma $\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{3}$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{1 + 3 x}$ .

$lim_{x \to 0} 1 \frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{2}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{2}{3} \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 4.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1}$

Passaggio 4.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{6}$