Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{3^{0} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{3^{0} - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3^{x} - 4^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [4^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - \frac{d}{d x} [4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $\ln (3)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\ln (3) lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Passaggio 2.3

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $\ln (4)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) lim_{x \to 0} 4^{x}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (3) \cdot 1 - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $\ln (3)$ per $1$ .

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Passaggio 4.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (3) - \ln (4)$

Passaggio 4.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (\frac{3}{4})$

Forma decimale:

$- 0.28768207 \dots$