Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} - 15 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} - 15 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{2} - 15 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 15$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{2} - 15$ .

$15 x^{2} - 15$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{2} - 15 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{2} - 15 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$15 x^{2} = 15$

Passaggio 2.3

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x^{2} = 15$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x^{2} = 15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{15}{15}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $15$ per $15$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $5 x^{3} - 15 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$5 {(1)}^{3} - 15 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 \cdot 1 - 15 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 - 15 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$5 - 15$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $15$ da $5$ .

$- 10$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$5 {(- 1)}^{3} - 15 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$5 \cdot - 1 - 15 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 - 15 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 15$ per $- 1$ .

$- 5 + 15$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 5$ e $15$ .

$10$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - 10), (- 1, 10)$

Passaggio 5