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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.
Passaggio 1.1.1
Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.
Passaggio 1.1.2
Calcola il limite del numeratore.
Passaggio 1.1.2.1
Calcola il limite.
Passaggio 1.1.2.1.1
Sposta l'esponente da fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.
Passaggio 1.1.2.1.2
Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.
Passaggio 1.1.2.2
Calcola il limite di inserendo per .
Passaggio 1.1.2.3
Semplifica la risposta.
Passaggio 1.1.2.3.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 1.1.2.3.2
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 1.1.3
Calcola il limite del denominatore.
Passaggio 1.1.3.1
Calcola il limite.
Passaggio 1.1.3.1.1
Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando tende a .
Passaggio 1.1.3.1.2
Calcola il limite di che è costante, mentre tende a .
Passaggio 1.1.3.1.3
Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.
Passaggio 1.1.3.2
Calcola il limite di inserendo per .
Passaggio 1.1.3.3
Semplifica la risposta.
Passaggio 1.1.3.3.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.1.3.3.1.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 1.1.3.3.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.3.3.2
Sottrai da .
Passaggio 1.1.3.3.3
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Passaggio 1.1.3.4
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Passaggio 1.1.4
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Passaggio 1.2
Poiché si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.
Passaggio 1.3
Trova la derivata del numeratore e del denominatore.
Passaggio 1.3.1
Differenzia numeratore e denominatore.
Passaggio 1.3.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 1.3.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.3.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.3.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.3.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.4
Semplifica.
Passaggio 1.3.4.1
Riordina i fattori di .
Passaggio 1.3.4.2
Riordina e .
Passaggio 1.3.4.3
Riordina e .
Passaggio 1.3.4.4
Applica l'identità a doppio angolo del seno.
Passaggio 1.3.5
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.6
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.7
Calcola .
Passaggio 1.3.7.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.7.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.7.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.3.7.4
Moltiplica per .
Passaggio 1.3.8
Somma e .
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.
Passaggio 2.1.1
Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.
Passaggio 2.1.2
Calcola il limite del numeratore.
Passaggio 2.1.2.1
Calcola il limite.
Passaggio 2.1.2.1.1
Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.
Passaggio 2.1.2.1.2
Sposta il termine fuori dal limite perché è costante rispetto a .
Passaggio 2.1.2.2
Calcola il limite di inserendo per .
Passaggio 2.1.2.3
Semplifica la risposta.
Passaggio 2.1.2.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.3.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 2.1.3
Calcola il limite del denominatore.
Passaggio 2.1.3.1
Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.
Passaggio 2.1.3.2
Calcola il limite di inserendo per .
Passaggio 2.1.3.3
Il valore esatto di è .
Passaggio 2.1.3.4
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Passaggio 2.1.4
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Passaggio 2.2
Poiché si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.
Passaggio 2.3
Trova la derivata del numeratore e del denominatore.
Passaggio 2.3.1
Differenzia numeratore e denominatore.
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 2.3.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.3.2.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.3.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.5
Moltiplica per .
Passaggio 2.3.6
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.3.7
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Sposta il termine fuori dal limite perché è costante rispetto a .
Passaggio 3.2
Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando tende a .
Passaggio 3.3
Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.
Passaggio 3.4
Sposta il termine fuori dal limite perché è costante rispetto a .
Passaggio 3.5
Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Calcola il limite di inserendo per .
Passaggio 4.2
Calcola il limite di inserendo per .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 5.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 5.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 5.3
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.3.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.4
Moltiplica per .