Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 1.3.5.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - \sin (x)}$

Passaggio 1.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + 1 \sin (x)}$

Passaggio 1.3.5.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \sin (x)}$

Passaggio 1.3.6

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (x)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 4.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Converti da $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$2 \sec (0)$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$