Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{π - π}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 0}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

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Passaggio 1.3.5.1

Somma $\sec^{2} (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3.5.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3.5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3.5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $4$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ per $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x) \cdot 4}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{4 \frac{2}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4 (\frac{2}{4})}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.4

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 4.5

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$