Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$\frac{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{π - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$\frac{0}{π - 3 \frac{π}{3}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{0}{π + 3 (- 1) \frac{π}{3}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{π + 3 \cdot - 1 \frac{π}{3}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{π - π}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $2 \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $π - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.3.8.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.8.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3}$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $3$ da $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{- 3}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{2}{- 3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{- 3} lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{2}{- 3} \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$\frac{2}{- 3} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{3} \sqrt{3}$

Passaggio 4.4

$\frac{- 1}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimale:

$- 0.57735026 \dots$