Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{h \to 0} 3 h)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{h \to 0} h)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = \sin (h)$ e $g (h) = 3 h$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [3 h]}$

Passaggio 1.3.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d h} [3 h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \frac{d}{d h} [3 h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $3 h$ rispetto a $h$ è $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \frac{d}{d h} [h])}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \cdot 3}$

Passaggio 1.3.7

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 \cos (3 h)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{h \to 0} 3 h)}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{h \to 0} h)}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Converti da $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ a $\sec (3 \cdot 0)$ .

$\frac{1}{3} \sec (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \sec (0)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{3}$